선형공간의 확장 개념인, 내적공간에 대하여

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이 세계에서는 '길이'나 '각도'가 정의되어 있지 않다.

즉, 다른 방향의 벡터끼리 대소를 비교하는 일은 없고, 회전이라는 작업도 정의할 수 없다.

'본래의' 선형공간에서는 이런 기능이 없다.

이 부분을 읽고.... 어? 우리가 배운 벡터의 길이 구하는 공식이나 회전행렬은 뭔가? 의문점이 들었다.
주석에서 설명을 해주고 있다.

'길이'나 '각도'가 정의되어 있는 것은 내적 공간이라는 '확장판의' 선형 공간이다.

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공부를 하다가, 내적공간과 선형공간이 혼동되어 이를 정리할 예정이다.

 

선형공간은 앞서 공부한 것처럼

(1) 덧셈: 벡터끼리 더할 수 있음

(2) 정수배: 스칼라와 백터 곱셈이 가능

이 두 가지 성질을 만족하는 벡터의 집합을 의미한다.

 

그렇다면 내적공간이란 무엇일까?

내적공간은 쉽게 말해서 선형공간 위에 내적(inner product)이라는 연산이 추가된 공간이라고 생각하면 좋다.

이 내적은 두 벡터 사이의 관계(길이나 각도)를 측정하는데 사용된다.

 

책에서 제시한 부록 E를 살펴보자.

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# E.1 내적공간

원래의 선형공간에는 길이나 각도라는 개념이 없다.

따라서 이 개념을 부여하기 위해서는 방법을 추가해야 한다.

 

# E.1.1 길이

'길이'는 벡터를 입력하면 실수를 출력하는 함수이다.

벡터 $\vec{x}$의 길이는 $\|\vec{x}\|$

 

그럼 길이는 어떻게 정의할 수 있을까?

현실의 '길이'가 지니는 성질 중 몇 개를 골라 '이것을 만족시키지 않으면 안 된다.'고 요청한다.

우선 아래와 같은 성질들을 기본적으로 요청하게 된다.

• $\|\vec{x}\| \geq 0$
• $\|\vec{x}\| = 0$ iff $\vec{x} = \vec{0}$
• 수 $c$에 대해 $\|c\vec{x}\| = |c| \|\vec{x}\|$

 

곧바로 추가적으로 요청을 하게 되는데...

 

# E.1.2 직교

길이의 다음은 각도이고, 가장 기본적인 '직각'을 생각해보자.

현실공간에서는 피타고라스 정리에서도 볼 수 있듯 직각이 존재하기에

우리의 세계에서도 직각이라는 개념을 도입한다.

 

우리는 역으로, 피타고라스 정리가 성립할 때 -> 이를 직교라고 정의한다.

즉, 벡터 $\vec{x}$와 $\vec{y}$가

$\|\vec{x} + \vec{y}\|^2 = \|\vec{x}\|^2 + \|\vec{y}\|^2$를 만족시키는 경우

두 벡터는 직교한다고 한다.

 

현실 공간에서 성립하는 성질에 의해 아래 요청을 추가적으로 요구하게 된다.

• 직교는 연장, 중단해도 직교
• $\vec{x}$와 직교하는 벡터끼리의 합도 $\vec{x}$와 직교

 

# E.1.3 내적

$F(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 - \|\vec{x}\|^2 - \|\vec{y}\|^2$

벡터 $\vec{x}$와 $\vec{y}$가 직교하는 경우에는 $F(\vec{x},\vec{y}) = 0$이 된다.

 

 

...추후 추가 예정