[Algorithm] 최단 경로

# 1. 가장 빠른 길 찾기

최단 경로 알고리즘: 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘 ('길 찾기')

다양한 종류가 있지만, 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.

 

최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데

각 지점은 '노드', 지점 간 연결된 도로는 '간선'으로 표현된다.

코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다. 

컴퓨터공학과 학부 수준에서는 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘 3가지를 배운다.

본 책에서는 가장 많이 등장하는 유형인 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘만 배운다.

더불어, 앞서 공부한 그리드 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로에 그대로 적용된다는 특징이 있다.

다시 말해, 최단 경로는 그리드 알고리즘 및 다이나믹 프로그래밍 알고리즘의 한 유형이다.

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다익스트라 최단 경로 알고리즘

다익스타(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘
: 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여
  다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘 
: 음의 간선(0보다 작은 값은을 가지는 간선)이 없을 때 정상적으로 동작

참고로, 현실세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로

다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되고는 한다.

 

알고리즘

1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3&4를 반복한다.

현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인하기 때문에 그리디 알고리즘이라고 할 수 있다.

 

다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 아래 2가지이다.

방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드

코딩 테스트를 준비하기 위해서는 자다가도 일어나서 바로 코드를 작성할 수 있을 정도로 [방법 2] 코드에 숙달되어 있어야 한다.

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동작 원리

예를 들어 출발 노드가 1일 때, 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해보자.

초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다.

(코드에서는 이를 1e9로 표시하는데, 파이썬의 경우 실수 자료형으로 처리하기에 int(1e9)로 초기화)

 

step 0. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

(출발-출발: 0으로 설정)

 

step 1. 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용 계산

1번 노드까지 오는 비용: 0

2번 (1번->1번 + 1번->2번 = 0 + 2) = 2

3번 (1번->1번 + 1번->3번 = 0 + 5) = 5

4번 (1번->1번 + 1번->4번 = 0 + 1) = 1

그리고 위와 같은  노드에 대해 더 짧은 경로를 찾았으므로, 새로운 값으로 갱신한다.

 

step 2. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택

2번, 3번, 4번 -> 4번 노드 선택됨

이어서, 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다.

3번 (1번->4번 + 4번->3번 = 1 + 3) = 4

5번 (1번->4번 + 4번->5번 = 1 + 1) = 2

이 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.

 

step 3. 2번 노드가 선택됨 (최단 거리가 같을 때는 일반적으로 번호가 작은 노드 선택)

최단 경로 2인 2번 노드와 5번 노드 중, 2번 노드를 선택한다.

이번 단계에서는 2번 노드를 거친다고 해도 최솟값이 나오지 않아 갱신되지 않는다.

 

step 4. 5번 노드가 선택됨

5번 노드가 선택되고, 6번 노드로 가는 값도 갱신된다.

6번 (1번->5번 + 5번->6번 = 2 + 2) = 4

 

step 5. 3번 노드가 선택됨

3번 노드가 선택되고, 동일한 과정을 반복한다.

 

step 6. 6번 노드가 선택됨

6번 노드가 선택되고, 동일한 과정을 반복한다.

 

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다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택'하는 과정을 반복한다.

이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.

다시 말해, 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해한다.

 

방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘

알고리즘을 실제로 구현해보자.

간단한 다익스트라 알고리즘은 $O(V^2)$의 시간 복잡도를 가지며, 다익스트라에 의해서 처음 고안된 알고리즘이다.

여기서 $V$는 노드의 개수를 의미한다.

 

이 알고리즘은 직관적이고 쉽게 이해할 수 있다.

처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다.

이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서

최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다. 

 

'최단 경로'를 구하려면 아래 소스 코드를 수정해야 한다.

코딩 테스트에서는 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 출력하도록 요청하므로,

이번 장에서 '최단 경로'까지 모두 출력하는 내용은 다루지 않는다.

 

import sys

# 백준에서는 sys.stdin.readline()을 사용하지만, 로컬에서는 input.txt 파일을 읽도록 변경
sys.stdin = open("input.txt", "r")
INF = int(1e9)

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력 받기기
n, m = map(int, sys.stdin.readline().split())
# 시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(sys.stdin.readline())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화)
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, sys.readline().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n-1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(infinity)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])