3DGS에서 Covariance Matrix를 구할 때 transpose matrix를 곱해주는 이유?

3DGS 논문을 읽다가 수식을 보고 든 궁금증이다.

 

먼저, world 좌표계에서 covariance matrix(공분산행렬)은,

(1) 크기변환행렬(scaling matrix) S와 (2) 회전변환행렬(rotation matrix) R을 이용해서 

$$\sum = RSS^{T}R^{T}$$

다음과 같은 식으로 변환한다. 또한, image 좌표계에서 공분산행렬은,

(1) world좌표계에서 camera좌표계로 변환하는 viewing transform과 (2) camera좌표계에서 image좌표계로 변환하는 projective transformation에 대한 아핀근사의 Jacobian을 이용해서

$$  \sum^{'} = JW \sum W^{T}J^{T} $$

위의 식으로 표현한다.

 

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두 식을 살펴보면 왜 전치행렬(transpose matrix)를 곱하는지 궁금할 것이다.

($S^{T}, R^{T}, W^{T}, J^{T}$)

 

 

그 이유는 바로 Covariance Matrix는 대칭행렬이기 때문이다.

왜 대칭인 성질을 가질까? 아래의 식을 살펴보면 알 수 있다.

$$Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])] = E[(Y-E[Y])(X-E[X])] = Cov(Y,X)$$

X와 Y의 공분산 값과 Y와 X의 공분산 값은 같기 때문에 Cov 행렬은 대칭이다.

 

따라서, 행렬을 대칭으로 만들어주기 위해 transpose를 곱해주는 것이다.