[프로그래머를 위한 선형대수] 1. 벡터, 행렬, 행렬식 | # 1.1 벡터와 공간

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들어가기에 앞서 책에서 나온 모든 내용을 다루지는 않을 것이다.

선형대수를 처음 공부하는 상황은 아니다보니

(1) 잊고 있었던 부분 (2) 새롭게 알게 된 사실

중심으로 정리할 예정할 예정이고, 따라서 글이 매끄럽지 못할 수 있다.

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1장을 들어가기 전 0장에서는, '선형대수를 배워야 하는 이유' 2가지에 대해 언급하고 있다.

 

# 0장. 선형대수를 배워야 하는 이유

1. 공간이라고 생각하면 직관이 먹힌다.

선형대수의 벡터공간은 현실 공간의 특징을 추상화한 ver임으로,

이러한 공간을 설명하는데 편리한 용어나 개념을 제공한다.

또, 현실공간이 아니더라도 다수의 수치로 조합한 데이터를 공간의 관점에서 바라보면 이해할 수 있는 경우도 많다.

2. 근사 수단으로 사용하기 편리하다.

선형대수가 다루는 대상은 선형적, 즉 직선이나 평면처럼 '곧은 것'이다.

곧은 것만 다룬다는게 편협하게 느껴질 수 있지만,

실제 대상의 대부분은 확대하면 거의 다 곧기 때문에 이를 근사해서 표현할 수 있는 것이다.

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# 1장. 벡터, 행렬, 행렬식

# 1.1 벡터와 공간

다수의 수치를 다룬 데이터를 다룰 때,
단순히 그들을 '수치의 조합'으로 다루는 것이 아니라
'공간 안에서의 점'으로 간주하는 직관을 활용하자!

 

지금까지 선형대수를 공부할 때 아쉬웠던 점이 직관을 이용하지 못했던 것이다.

앞으로는, 책에서 제시한대로 백터, 행렬, 행렬식을 아래와 같은 관점으로 바라보겠다.

	문자배열(표면상)	의미
벡터	숫자로 일렬로 늘어 놓은 것	화살표, 또는 공간 안의 점
행렬	숫자를 직사각형으로 늘어 놓은 것	공간에서 공간으로의 직교 사상
행렬식	뭔가 귀찮은 계산	위의 사상에 따른 부피 확대율

 

# 1.1.1 우선적인 정의: 수치의 조합을 정리하여 나타내는 기법

- 벡터는 열벡터로 약속함

- 벡터는 x, v, e처럼 두꺼운 글씨로 쓰기

 

# 1.1.2 ‘공간’의 이미지

벡터는 위에서 언급한 대로 '공간 안의 점' 혹은 '화살표'로 나타낼 수 있다.

모눈종이 위의 '점' (3,5) 나 (4,3,2)을 찍어, 위치 벡터를 표현할 수도 있고

'화살표'로 해석하여 [덧셈 -- 화살표를 이어 붙임], [정수배 -- 길이를 늘이고 줄임]으로 접근할 수 있다.

 

3Blue1Brown 영상에서 이렇게 설명해주는군...!
언제 '점'? 언제 '화살표'?에 대한 답변

 

# 1.1.3 기저

이제는 모눈종이 없이 벡터를 표현하는 연습을 하자.

실제 우주에는 위라든지 오른쪽이라든지 특별한 방향이 없으니 여기에 익숙해지는 것이다.

 

우리는 '덧셈'과 '정수배'가 정의된 세계를 '선형 공간' 또는 '벡터 공간'이라고 부른다.

 

⚠

이 세계에서는 '길이'나 '각도'가 정의되어 있지 않다.

즉, 다른 방향의 벡터끼리 대소를 비교하는 일은 없고, 회전이라는 작업도 정의할 수 없다.

'본래의' 선형공간에서는 이런 기능이 없다.

이 부분을 읽고.... 어? 우리가 배운 벡터의 길이 구하는 공식이나 회전행렬은 뭔가? 의문점이 들었다.
주석에서 설명을 해주고 있다.

'길이'나 '각도'가 정의되어 있는 것은 내적 공간이라는 '확장판의' 선형 공간이다.
(부록 부분까지 고려해 자세한 설명)

 

그럼 이제 특정 벡터를 가리키기 위해서

말로도 위치를 전할 수 있도록 이 세계에 '번지(좌표)'를 매겨주어야 한다.

예를 들어 $\vec{v}$에서는

 

'기준이 되는 한 쌍의 벡터'인 $\vec{e_1}$와  $\vec{e_2}$를 기저

'각 기준에서 몇 보 나아가는 가'인 3과 2를 좌표라고 한다.

 

# 1.1.4 기저가 되기 위한 조건

아무 벡터나 몇개 조합하여 마음대로 너네 기저야!하고 지정할 수는 없다.

그 이유는, 기저가 되기 위한 2가지 조건이 필요하기 때문이다.

1.  $\vec{e_1}$,...,  $\vec{e_n}$ 의 선형 결합으로 모든 벡터  $\vec{x}$를 나타낼 수 있을 때

(비유법: 모든 토지에 번지가 붙여있다.)

2. 그리고 그 표현법이 유일할 때

(비유법: 토지 하나에 번지는 하나 뿐이다.)

 

# 1.1.5 차원

우리는 기저 벡터의 개수를 가지고 그 공간의 차원을 정의할 수 있다.

차원 = 기저 벡터의 개수 = 좌표의 성분 수

어떤 기저를 취해도 기저 벡터의 개수는 일정하기 때문에 어떤 기저를 취하는지는 차원에 영향을 주지 않는다.

 

# 1.1.6 좌표에서의 표현

좌표에 기저를 지정하지 않으면 의미가 없다.

예시를 들어보면, 우리는 '후지산의 높이가 3776이다'라는 얘기를 들었을 때 무슨 뜻인지 알 수 없다.

'3776m이다'라고 단위를 붙여줘야 의미를 지니게 되기 때문이다.

이때 3776이 좌표, m가 기저가 되는 것이다.