[프로그래머를 위한 선형대수] 2. 랭크, 역행렬, 일차방정식 | # 2.1 역문제, # 2.2 성질이 좋은 경우(정칙행렬), # 2.3 성질이 나쁜 경우

# 2.1 역문제

물리적인 구조(시스템)를 고찰하거나, 입출력을 관측하여 추정하면 위의 행렬 A를 아는 것은 가능하다.

원인 $x$를 알고 결과 $y$를 예측할 수 있다는 뜻이다. (순문제)

그러나, 반대로 결과 $y$를 알고 원인 $x$을 추측하고 싶은 경우가 있는데 이를 역문제라고 한다.

예를 들어, 지표의 중력 분포(결과)를 통해 지중의 자원분포(원인)을 추측하거나,

열화된 영상(결과)을 통해 원래 영상(원인)을 추측하는 경우이다.

 

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# 2.2 성질이 좋은 경우 (정칙행렬)

# 2.2.1  정칙성과 역행렬

정칙행렬: 역행렬이 존재하는 정방행렬 A

특이행렬: 정칙이 아닌 행렬

 

연립일차방정식을 계산하는 방법은 크게 두가지가 존재한다 (1) 변수 소거법 (2) 가우스-요르단 소거법

변수 소거법은 '방정식 한 개를 사용해 나머지에서 변수를 하나 소거'라는 절차로 문제를 간단하게 하는 것의 반복이고

가우스-요르단 소거법은 'Q,R,S 과정을 반복하여 단위행렬로 만들어가는' 방법이다.

• Q: 어떤 행을 c배 한다.
• R: 어느 행의 c배를 다른 행에 더한다.
• S: 어느 행과 다른 행을 바꿔넣는다. -- 피보팅(pivoting)

 

 

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책에서 말하는 변수 소거법과 가우스 소거법이 같은 것 같다

그 이유는 대각성분이 1인 상삼각행렬을 만드는 과정이기 때문에

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가우스-요르단 소거법을 기하학적으로 이해하면
직선의 방정식의 법선 벡터를 선형 변환시켜주어
법선 벡터들이 단위 벡터에 평행하게 만드는 과정이다.

https://angeloyeo.github.io/2019/09/09/Gauss_Jordan.html#google_vignette

다음 블로그에서 자세히 설명하고 있다. 가우스-요르단 소거법을 시각적으로 이해할 수 있어서 도움을 받았다.

 

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가우스 요르단 소거법은 왼쪽에서 오른쪽으로 한 열씩 소거해나가는 순서

변수소거법은 좌하삼각부분부터 소거하고, 그 후 우상삼각부분을 소거한다.

좌하삼각부분의 성분에서 값이 갱신된 쪽은 가우스 요르단 소거법과 같다.

다른 점은 우상삼각부분 쪽인데, 이 부분도 역시 바로 앞 열을 소거하는 사이, 1열 나아갈 때마다 값을 계산하여 갱신해야 함

 

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# 2.3 성질이 나쁜 경우

# 2.3.1 성질이 나쁜 예

성질이 나쁜 경우는 크게 3가지로 설명할 수 있다.

단서가 부족한 경우(가로가 긴 행렬, 핵)

원인 $x= (x_1, ..., x_n)^T$와 결과 $y=(y_1,y_2,...,y_m)^T$에서차원 수가 다른 경우는 아래와 같은 사상으로 생각해볼 수 있다.차원이 높은 곳에서 차원이 낮은 곳으로 옮기는 것이므로, '납작하게 누르는' 사상이 되는 것이다.이때, 여러 개의 x가 같은 y로 옮겨가게 되므로,임의의 y에 대해서 원래 x를 지정할 수 없고 여러개 나오기 때문에 성질이 나쁜 것이다.

A의 핵(kernel): 주어진 A에 의해 $Ax=0$으로 이동해 오는 것과 같은 x의 집합, Ker A라고 나타냄

예를 들어, 그림 2-3이라면 Ker A는 1차원(직선), 그림 2-4라면 Ker A는 2차원(평면)이 되는 것이다.

 

단서가 너무 많은 경우(세로가 긴 행렬, 상)

이번에는 반대로 y가 차원이 큰 (m>n), A가 세로로 긴 경우이다.

원래보다 차원이 높은 공간으로 옮기는 것이므로, 이동점들이 y의 모든 공간을 커버하는 것은 불가능하다.

즉, 어떤 y에 대해서는 대응하는 x가 없을 수 있다는 뜻인데 이것을 바로 사상이 나쁘다고 판단한다.

A의 상(image): 주어진 A에 대해 x를 여러모로 움직인 경우에 A로 옮기는 y=Ax의 집합, Im A

예를 들어, 그림 2-6이면 Im A는 2차원(평면), 그림 2-7이면 Im A는 1차원(직선)이다.

 

단서의 개수가 일치해도.. (특이행렬)

그럼 이제 이런 생각을 할 수가 있다. 정방행렬이면 다 괜찮은거냐? 그렇지 않다

성질이 좋음과 나쁨은 행렬의 크기만으로는 단정지을 수 없다.

본질은 핵 Ker A나 상 Im A가 어떻게 되어 있는가 이다.

 

# 2.3.2 성질의 나쁨과 핵, 상

성질이 나쁜 경우는 크게 3가지로 설명할 수 있

정리하면, 아래와 같다. 결국 포인트는 두개다

1. 같은 결과 y가 나오는 원인 x가 유일한가? -- 단사

2. 어떤 결과 y에도 그것이 나오는 원인 x가 존재하는가? -- wjstk

 

그리고 차원의 정리 또한 정의할 수 있다.

dim Ker A + dim Im A = n