[프로그래머를 위한 선형대수] 3. 컴퓨터에서의 계산(1) - LU분해로 가자

# 3.3 LU 분해

# 3.3.1 정의

$A = LU$

주어진 행렬 $A$에 대해 $A$를 하삼각행렬 $L$와 상삼각행렬 $U$의 곱으로 나타내는 것을 의미한다.

 

# 3.3.2 분해하면 뭐가 좋나요?

LU분해를 하면, L이나 U의 형태를 이용해서 행렬식을 구하거나, 일차방정식을 풀거나 하는 것이 간단해진다.

즉, 적은 계산량으로도 가능하다는 뜻이다.

 

처음에 시간을 들여 분해를 해놓으면 나중에 편해지기 때문에 기본 부품으로 널리 사용되는 것이다.

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# 3.5 행렬식을 LU 분해로 구하다

$det(A) = det(LU) = (det(L))(det(U))$

하삼각행렬과 상삼각행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이고

$det(L) = 1$이기 때문에 $det(A) = (U의 대각성분의 곱)$이다.

참고로, $U$ 역시 대각성분의 값들이 1로 만드는 분해를 LDU-분해라고 한다.

 

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# 3.6 일차방정식을 LU분해로 풀다

'성질이 좋은 경우'의 연립일차방정식을 생각하자.

즉, 정칙인 n차 정방행렬 A와 n차원 벡터 y에 대해 $Ax = y$가 되는 $x$를 구하는 문제이다.

$A = LU$라고 한다면, $LUx = y$이고,

1. $Lz = y$가 되는 $z$를 구한다.

2. $Ux = z$가 되는 $x$를 구한다.

위와 같은 두가지 순서로 구할 수 있다.

 

# 연산량

 

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+ 교재 설명이 너무 이해가 안돼서 좀 넘어갔다..